lim n→∞ sin pi√(n^2+a^2) (a不等于0)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/03 16:48:18
自己想出来了
sin(pi√(n^2+a^2)=(-1)^n sin(pi√(n^2+a^2)-npi)=(-1)^n*sin(pia^2/(√(n^2+a^2)+n))

(-1)^n是有界函数 lim n→∞sin(pia^2/(√(n^2+a^2)+n))＝0
所以sin(pi√(n^2+a^2)=0

SNOWHORSE70121相对比较接近，分就给你了

先考虑 lim n→∞ |sin [pi(n^2+a^2)^(1/2)|

lim n→∞ |sin [pi(n^2+a^2)^(1/2)|

= lim n→∞ |sin [pi(n^2+a^2)^(1/2) - npi]|

= lim n→∞ |sin {pi[(n^2+a^2)^(1/2) - n]}|

= lim n→∞ |sin {pi[(n^2+a^2) - n^2]/[(n^2+a^2)^(1/2) + n]}|

= lim n→∞ |sin {pi[a^2]/[(n^2+a^2)^(1/2) + n]}|

= |sin(0)|

= 0.

所以
lim n→∞ sin pi(n^2+a^2)^(1/2)

= 0

n→∞时,n^2+a^2→n^2
∴√(n^2+a^2) →n
∴pi√(n^2+a^2) →npi
则极限lim n→∞ sin pi√(n^2+a^2)
=lim n→∞ sin npi
=0

原式等于lim n趋于无穷 sinnπ
极限不存在

0啊